いいえ、マイナンバーを登録したことにより勤務先に取引の通知が届くことはありません。
マイナンバーとは関係ありませんが、住民税の支払いを給与から差し引く（特別徴収）にしていると納税通知書が勤務先に届き、給与担当者等に給与以外の所得があることが判明してしまう可能性があります。
確定申告の際、住民税の徴収方法の選択を「自分で納付（普通徴収）」とすると納税通知書は自宅に届きます。

※「給与以外の所得がある」ということが判明するのみで給与以外の所得の内訳（FX取引での為替差益、株式の売買益など）は明記されません。